Zinsen und Zinsberechnung

Die Auswirkung der Berechnung der Zinsen auf dein Geld

Zinsen sind nichts anderes als die Gebühr für die Verwendung von Geld. Es spielt jedoch eine Rolle, wie wir diese Gebühr berechnen. Die Art und Weise, wie die Zinsen berechnet werden, hat einen starken Einfluss auf das Endergebnis.

Markierungen während der Zinsberechnung

Bevor wir darauf eingehen, schauen wir uns an, welche Abkürzung was bedeutet.

FV: Future Value, Zukünftiger Wert. So viel Geld hast du am Ende des betreffenden Zeitraums.
PV: Present Value, Gegenwartswert. Du hast jetzt so viel Kapital. Sie werden auch verwendet, um C als Kapital zu bezeichnen.
r: Wachstumsrate. Du kannst dies in % oder sogar in Dezimalform ausdrücken. Wenn du es ohne zusätzliche Informationen siehst, drückt es immer einen Jahreskurs aus. Auch wenn du 3 Monate zählst.
n: Anzahl Perioden. Sie wird sogar mit t, als Zeit bezeichnet. Standardmäßig bezeichnet es auch hier die Anzahl der Jahre.

Einfache Zinses

Einfache Zinsen sind am häufigsten auf Bankeinlagen und Zinszahlungen auf Anleihen zu finden. Du bringst dein Geld zur Bank, zahlen es ein und erhalten am Ende der Laufzeit die verdienten Zinsen. Du erhältst diese Zinsen auf und suchst sich einen anderen Platz dafür, nur das ursprüngliche Kapital arbeitet weiter.

Berechnung einfacher Zinsen

FV = PV * ( 1 + r*n)

Acht dabei auf die Reihenfolge der Operationen in Klammern. Das heißt, zuerst kommt die Multiplikation und dann die Addition.

Beispiel für einfache Zinsrechnung

Du hast 100.000 Forint, die du für 5 Jahre an einen Ort bindest, an dem du garantiert 10% Zinsen erhältst. Wenn du einfache Zinsen verwendest, holst du jedes Jahr deine verdienten Zinsen ab und nur das Stammkapital arbeitet weiter.

Da es keine Kapitalerhöhung gibt, ist es für die einfache Verzinsung von 10% 5 Jahre arbeiten oder 5% 10 Jahre arbeiten am Endergebnis irrelevant.

FV = 100.000 * (1+0,1*5)

Wenn du rechnest, erhältst du bis zum Ende des Zeitraums 150.000 HUF mit einfachen Zinsen.

150.000 = 100.000 * (1+0,1*5)

Nicht schlecht, aber schauen wir weiter.

Zinseszins

Solange nur dein ursprüngliches Kapital mit einfachen Zinsen arbeitet, arbeitet dein verdientes Interesse bereits mit Zinseszinsen. Das heißt, was du an Zinsen erhältst, verbringst du nicht, sondern du fugst deinem Kapital hinzu, um auch Zinsen dafür zu erhalten. Dadurch wird dein Vermögen schneller wachsen.

Auch bei einem Bankdepot kannst du dieser Methode begegnen, wenn am Bilanzstichtag des Depots die erwirtschafteten Zinsen nicht auf dein Konto überwiesen, sondern in gleicher Weise wieder dem Depot gutgeschrieben werden. Außerdem kann man auch bei Wertpapieren auf das Prinzip des Zinseszinses stoßen, wenn du hältst die erzielten Gewinne nicht ein, aber ebenso eine Art Wertpapier daraus kaufst, um daran zu gewinnen.

Berechnung des Zinseszinses

FV = PV * (1+r)ⁿ

Du kannst sehen, dass wir nicht mehr von glatter Multiplikation sprechen, sondern von Potenzierung. Wenn wir die Zahlen im vorherigen Beispiel ersetzen, ist der Unterschied bereits offensichtlich.

161.051 = 100.000 * ( 1+0,1)⁵

Es spielt jedoch eine Rolle, wie oft du den Zinseszins in einem Jahr kapitalisierst.

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Berechnung des Zinseszinses durch Kapitalisierung mehrmals jährlich

Ennek az alkalmazásánál kiemelten figyelj arra, hogy a kamatláb éves mértékben van megadva. Így ha éven belül többször is tőkésíted a kamatos kamattal dolgoztatott pénzt, akkor a Acht bei des Gebrauchs besonders darauf, dass der Zinssatz auf Jahresbasis angegeben wird. Wenn du dein Geld also mehrmals im Jahr kapitalisieren und mit Zinseszins arbeiten, reduzier den Zinssatz proportional, indem du die Anzahl der Perioden erhöhst.

Wenn ich mit einer Formel schreiben möchte, kann ich das so machen:

FV = PV * (1+ r/m)^m*n

Dabei bezeichnet m die Anzahl der Perioden innerhalb eines Jahres. Das heißt, wenn du alle sechs Monate erneut kapitalisierst, dann 2, wenn vierteljährlich, dann 4, wenn monatlich, dann ist m 12, während es bei, sagen wir, wöchentlich 52 ist.
Mit Hilfe der Formel kannst du sogar Tageszinsen berechnen, ebenso wie die Bank, wenn du in Zahlungsverzug geraten.

Berechnung des Zinseszinses für eine sechsmonatige Laufzeit

Wenn du dein Geld für Semesterzeiten von 5 Jahren einzahlen, hast du zwei Aufgaben. Die erste besteht darin, die Anzahl der Perioden zu verdoppeln, da du doppelt so oft eine Zinsgutschrift erhältst. Die andere Möglichkeit ist, den Zinssatz entsprechend zu halbieren, da du in sechs Monaten nur die Hälfte des Jahreskredits erhältst.

162.890 = 100.000 * ( 1+0,1/2)^2*5

Berechnung der Zinsen auf eine monatliche Einzahlung

Dies erfolgt ähnlich wie bei der Halbjahresrechnung, mit dem Unterschied, dass hier 12 Zahlungen innerhalb eines Jahres erfolgen, die Zinserträge aber nur ein Zwölftel der Jahresrate betragen.

164.530 = 100.000 * ( 1+0,1/12)^12*5

Du siehst, dass du hier noch bessere Ergebnisse erzielen kannst, ohne das eingesetzte Kapital oder den Zeithorizont zu verändern.

Signifikanz des Unterschieds zwischen den Zinsberechnungsverfahren

Wenn du siehst sich den Unterschied zwischen einem einfachen Zinssatz, einem Zinseszins und einem Zinseszins für ein Jahr genau an, kannst du feststellen, dass du zu einem anderen Endergebnis gekommen bist. Zinseszins bedeutet für dich, als ob du dein Geld bei gleichem Risiko höher verzinst hättest.

Dies gilt auch auf der Habenseite, da du auch dort die Zinsen monatlich zahlst. Je länger die Laufzeit, desto länger zahlst du Zinsen an die Bank. Da das erzielte höhere Ergebnis auch auf der Anlageseite zutrifft, wird es auch auf der Kreditseite zutreffen. Selbst wenn die Bank schreibt, dass die Zinsen 10 % betragen, gewinnt er bei monatlicher Zahlung etwas mehr.

Es spielt jedoch Rolle, ob dein Geld nur zahlenmäßig oder sogar real wächst.

Der Realzins

Wenn du legst dein Geld irgendwo an, ist deine Hauptfrage nicht wirklich, wie viel Zinsen du dafür bekommst. Das fragt man sich zwar und das steht auch in den Prospekten geschrieben, dahinter steht aber meist, wie viel besser man fährt, wenn man sein Geld nicht jetzt ausgibt, sondern irgendwo investiert.

Dies zeigt sich in der Veränderung des Kaufkraft, d.h. am Ende der Bindungsfrist kannst du von deinem Geld mehr oder weniger kaufen als heute. Dies zeigt uns der Realzins.

Realzins = ((1+ Nominaler Zins) / (1+Inflationsrate)) – 1

Der Nominalzins ist der Zins, den du zahlenmäßig erhältst. Dies wird in der Regel in den Prospekten angegeben. Nun wollen wir aber keine Zahlenänderung, sondern eine Kaufkraftänderung. Deshalb passen wir uns der Inflation an.
Die Inflationsrate ist schwerer zu fassen als der Nominalzins und bei jedem etwas anders. Je nachdem, was und wo du normalerweise kaufst.

Interpretation des Realzins

Die Realzinsformel berücksichtigt das tatsächliche Wachstum und die tatsächlichen Auswirkungen der Inflation. Das heißt, wir schauen nicht auf den Zinssatz und die Inflationsrate, sondern was mit dem Kauftkraft passiert ist. Es ist daher notwendig, 1 zu dem Bruch hinzuzufügen. Am Ende interessiert uns aber der Realzins, also ziehen wir 1 ab, was 100% (also investiertes Kapital) bedeutet. Da eine Subtraktion stattgefunden hat, kann ihr Wert negativ, positiv oder Punkt 0 sein.

Wert 0: Der Kaufkraft ändert sich nicht, dh du kannst heute genau so viel davon kaufen wie in 1 Jahr.
Negativer Wert: Der Kaufkraft deines Geldes sinkt, d. h. entweder eine rentablere Anlage wählen oder das Geld jetzt ausgeben.
Positiver Wert: Der Kaufkraft deines Geldes steigt, d.h. du hast in dieser Hinsicht gut investiert.

Berechnung der Realzinsen

Angenommen, die Inflation beträgt 4 %. Da sowohl die Inflation als auch die Zinsen auf Jahresbasis ausgedrückt werden, wird der reale Zinssatz normalerweise auf Jahresbasis ausgedrückt.
Übertragen wir die Zahlen aus dem obigen Beispiel, sieht die Formel so aus:

5,77% = ((1+0,1 / 1+0,04 )) -1

Hier, mit diesem Beispiel, hat sich der Wert deines Geldes erhöht.

Der Wert des Realzins auf Festeinlagen

Diese Inflation von 4 % entspricht weitgehend dem vom Zentrales Statistikamt gemeldeten Niveau. Betrachtet man ein klassisches Festgeldanlagen mit einem heute üblichen Spitzenzinssatz von rund 0,5 %, so transformiert sich diese Rechnung wie folgt:

-3,37% = ((1+0,005) / (1+0,04)) -1

Du kannst sehen, dass dein Geld seinen Wert verliert, wenn es liegt in einem Festgeld bei einer Bank.

Der Zinsfaktor

Der Zinsfaktor zeigt, wie oft sich dein Geld in einem bestimmten Zeitraum erhöht hat.
Für einfache Zinsen und Zinseszinsen kannst du auf vorab festgelegte Zinssätze zählen, die dir normalerweise vom Unified Deposit Index Rate mitgeteilt werden (du findest ihn als EBKM bei ungarischen Banken). Das Leben hingegen kann einen Unterschied machen und diese Informationen stehen dir nicht unbedingt zur Verfügung. In solchen Fällen kann es erforderlich sein, wenn du die Wachstumsrate selbst bestimmen kannst.

Berechnung des Zinsfaktors bei einem einfachen Zinssatz

Dann hast du nicht allzu viel zu tun, du teilst den Betrag, den du am Ende deines investierten Kapitals mit deinem investierten Kapital erreichst, und rechnest ihn dann auf Jahresbasis um. Das heißt, du dividierst durch die Anzahl der Jahre.

((FV / PV)-1) / n = ((150.000 / 100.000)-1) / 5= 10%

Auch hier zieht -1 den ursprünglichen Kapitalbetrag ab, sodass du nur noch den Zinssatz für sich hast.

Im Fall des Zinseszinses ist es nicht mehr so einfach, weil hier die Wachstumsrate potenziert wurde.

Berechnung des Zinsfaktors zum Zinseszinssatz

Wenn wir hier also einen genauen Wert bekommen möchten, müssen wir die Potenzierung umkehren und die Wurzel berechnen. Da du dein Geld für 5 Jahre angelegt hast, musst du hier nicht mit der Quadratwurzel, sondern mit der fünften Wurzel rechnen.

⁵√(161.051 / 100.000 ) -1

Wenn du die Aufgabe löst, wirst du sehen, dass das Ergebnis auch hier 10% sein wird.

Der logarithmierten Rendite

Kontinuierliche Zinsen können auch als logarithmische Renditen begegnen. Dieser Art der Verzinsung wirst du im Alltagsleben nicht sehr oft begegnen, weil es für dich auch bequemere Lösungen gibt.

Die Entwicklung kontinuierlicher Zinssätze

Man hat ab den 1960-er Jahren sowohl auf der Seite der Einlagen als auch auf der Seite der Kredite den Höchstzinssatz eingeführt. Das heisst, du konntest bei den Banken mit deinen Geldanlagen einen bestimmten Wachstumswert nicht überschreiten, und die Banken konnten den Höchstzinssatz ihrer Kredite ebensowenig überschreiten. Diese Regelung hat aber keine Aussage bezüglich Häufigkeit der Zinszahlungen getroffen.

Wie wir es bereits bei der Berechnung des Zinseszinses gesehen haben, funktioniert eine häufige Zinsauszahlung so, als ob man dir einen höheren Jahreszinssatz angeboten hätte. Deshalb hat man anfangs die halbjährliche und später die monatliche Zinsauszahlung überall eingeführt. Nachdem sich diese neuen Arten der Zinszahlungen verbreitet hatten, hat ein einfallsreiches Unternehmen die stetige Verzinsung eingeführt. Das bedeutet, die Zahlungen erfolgen stetig und gleichmässig über das ganze Jahr.

Das Ergebnis dieser Methode der Zinszahlungen ist die logarithmierte Rendite.

Berechnung der logarithmierte Rendite

Da der kontinuierliche Zinssatz praktisch der Zinseszinssatz ist, wird seine Formel auch darauf basieren.

FV = PV * (1*r/m)^m*n

Da wir den Zinssatz auf Jahresbasis festlegen und den Zinssatz für 1 Jahr angeben möchten, ist der Wert von n 1, dh wir können ihn aus der Beschriftung weglassen.

FV = PV * (1*r/m)^m

Das m hingegen geht gegen unendlich, weil wir Zinszahlungen in beliebig kleinen Intervallen (d.h. zu jeder Zeit) annehmen.
Man könnte sagen, dass dies eine Menge Rechenaufgaben und andere Arbeit erfordert, schließlich geht hier m gegen unendlich. Das wiederum wurde von schlauen Leuten mit der Berechnung des Grenzwertes schon stark vereinfacht.
Bevor wir uns mit der Berechnung des Grenzwerts befassen, akzeptieren wir die Berechnung der Mathematiker. Der Grenzwert beträgt 2,718^r.

Und 2.718 ist eine mathematische Konstante, die die Basis des natürlichen Logarithmus ist. Dies nennt man Eulersche Zahl, also mit e bezeichnen.

Bei der stetigen Zinszahlung wird also dein Zinsfuss e^r.

Wenn m gegen unendlich geht, also in beliebig kleinen Abständen eine Zinszahlung erfolgt, dann sieht seine Formel so aus:

FV = PV * e^r*n

Beispiel für die logarithmierte Rendite

Wenn du legst im ersten Beispiel 100.000 HUF für eine kontinuierliche Verzinsung für 1 oder 5 Jahre an, sieht das so aus.
Mit einer 1-Jahres-Zusage sieht dein Geld aus:

FV = 100.000* e^0,1 = 111.626

Für eine 5-jährige Verpflichtung:

FV = 100.000* e^0,1*5 = 164.863

Du kannst sehen, dass es auch hier einen kleinen Unterschied im Endergebnis gibt.

Zusammenfassung

Den Zinssatz verwenden Sie am häufigsten für Bankeinlagen und Kredite,
und die Bank bestimmt alles auf dieser Grundlage. Wenn du es zu deinem eigenen Vorteil nutzen möchten, entscheide sich bei der Investition dafür, so oft wie möglich zu kapitalisieren. Je öfter dein Geld kapitalisiert wird, desto größer ist der Nutzen, den du haben wirst. Eine theoretische Spitze davon ist die logarithmierte Rendite bei gegebenem Zinssatz. Im wirklichen Leben wird dir dies nicht oft begegnen, da eine solche Zinszahlung in der Praxis nicht möglich ist. Es wird von Finanzfachleuten für Optionspreise und Vergleiche verwendet.

Wenn du die richtige Entscheidung triffst oder einfach nur im Bilde sein möchtest, kontaktier uns, um einen Termin dafür zu vereinbaren.

Dieser Artikel ist auf Englisch und Ungarisch verfügbar.
	Interest and interest calculation
	A kamat és a kamatszámítás